A lo largo de nuestra vida son más o menos numerosas las situaciones graciosas con las que nos encontramos. Son esas “batallitas” que todos solemos contar. Pues bien una de estas me servirá de excusa para el presente artículo.

          Muchos de los trabajos de geología que he realizado los hice en colaboración con otra colega, Carmen Ortega Martin y por ello fueron muchas las horas en las que tuvimos que hablar de cuestiones técnicas relacionadas con la geología y/o la ingeniería. Así sucedió que en una ocasión, había que hablar sobre un asunto relacionado con balsas de decantación para una explotación minera a cielo abierto o algo similar. En el transcurso de la conversación Carmen Ortega me comentó que al parecer un funcionario de cierto organismo (le llamaremos en adelante el “tipo listo”) y en el transcurso de una conversación de carácter técnico dijo que “no estaba de acuerdo con la Ley de Stokes”; afirmación esta que hará sonreír a cualquier estudiante de secundaria medianamente espabilado, pues lo que tal afirmación denota es que quien la pronuncia confunde las leyes físicas con la leyes de los códigos de justicia que los humanos redactamos y modificamos a nuestro antojo cuando se estima oportuno.

          Las leyes físicas como la gravitación universal por ejemplo; lo que hacen es reflejar y de modo matemático (esto es esencial); como se comporta la Naturaleza o el Mundo. Se pueden estudiar más y más para que su expresión matemática se ajuste más y más a la realidad; pero no son leyes que se puedan cambiar como las del Código Penal, por ejemplo. De nada serviría por ejemplo que científicos del mundo entero dijesen que 4 mas cinco son 15 porque seguirán siendo 9. Lo serán en La Tierra, en la Luna o en cualquier parte del Universo. Lo son ahora, han sido siempre así y así serán eternamente. Otra cuestión es claro está que nuestros conocimientos nunca lleguen a conocer la realidad tal y cual es en todos sus últimos detalles. No obstante a menudo un conocimiento somero es suficiente. La longitud de una carretera por ejemplo (si tenemos que emprender un viaje de más de 100 km),basta que la conozcamos con una aproximación de más o menos 10 Km. Por ejemplo. Sería absurdo medir y medir una y otra vez hasta conocer su longitud con una indeterminación inferior a un metro.

LA LEY DE STOKES

La Ley de Stokes fue descubierta a mitad del siglo XIX por George Gabriel Stokes un matemático irlandés basándose en una serie de experimentos, en otros conocimientos previos como el Principio de Arquímedes y en análisis matemático de la realidad. Desde entonces hasta nuestros días se ha aplicado en infinidad de casos reales y hasta la fecha nadie ha sido capaz de rebatirla con argumentos creíbles (ni siquiera el funcionario aludido al principio de este artículo). Esta ley física y sus implicaciones, así como su expresión final es el resultado de una serie de razonamientos (y experimentos) tan lógicos y asimismo tan simples que aún cuando no hubiese sido comprobada miles de veces sería igualmente creíble. Veámoslo.

          Una esfera cualquiera tiene como cualquier otro cuerpo material un peso que la empuja hacia el suelo. Si la colocamos en la superficie de un líquido (un estanque de agua por ejemplo) se hundirá en el mismo; pero a medida que se sumerge va desalojando un cierto volumen de agua. El peso de ese volumen de agua (Principio de Arquímides) lo que hace es empujar hacia arriba (fuerza de sustentación) a la esfera y si el agua es menos densa que el material de la esfera (una roca por ejemplo) el resultado será que en cualquier caso habrá una fuerza (inferior siempre al peso de la esfera) que empuja a la esfera hacia el fondo del estanque. Ahora bien un cuerpo sometido a una fuerza constante se moverá a velocidades cada vez más altas; según demostró Newton (segunda Ley de Newton). Pero cualquier objeto que se mueva en medio de un fluido y por la fricción con este experimentará un frenado debido al rozamiento. Este frenado es mayor cuanto mayor es la velocidad de movimiento y por ello llegará un momento en que esa fuerza de frenado que se opone al movimiento igualará a la fuerza que antes vimos que empujaba a la partícula hacia el fondo. En ese momento (ley de inercia o primera Ley de Newton) la partícula continuará su descenso a velocidad constante (velocidad límite);que permanecería así eternamente; salvo que aparezca una nueva fuerza que actúe sobre la partícula que desciende. En nuestro caso (lo más normal) cuando la partícula llegue al fondo y sea el suelo el que la frene.

          Los cuerpos en movimiento tienden a seguir eternamente así y si en la vida cotidiana los vemos detenerse es porque aparece siempre alguna fuerza que los frena; en general la fuerza de rozamiento. La Luna o los planetas no cesan en su movimiento porque las fuerzas a las que están sometidos aunque cambiantes no son nunca lo suficientemente fuertes como provocar su parada total como ocurre en la superficie terrestre con los objetos que vemos moverse. Además, el espacio a través del cual se desplazan los astros es a muchos efectos un espacio vacío. No hay rozamiento.

          En La Tierra la situación es diferentes. La fuerza de fricción que experimenta una partícula desplazándose a través de un fluido tiende a frenar su velocidad y será proporcional a esta velocidad y a la viscosidad del fluido. No es lo mismo moverse a través del aire que hacerlo a través del agua o a través de una masa semi-líquida. También influye la forma de la partícula como resulta evidente. Por tanto esa fuerza de rozamiento es igual al producto de la velocidad por la viscosidad y por un número K que depende de la forma de la partícula.

          Lo que Stokes descubrió al parecer mediante experimentos (aunque no se exactamente como) es que en el caso de una esfera perfecta el valor de K es igual al producto de 6 por el Numero Pi y por el radio de la esfera. Esto es lo que básicamente dice la Ley de Stokes. Ver gráfico. adjunto a este texto. Es evidente que se trata de una fórmula muy lógica. Cuanto mayor sea la esfera mayor será su superficie y mayor su rozamiento contra el fluido que la envuelve. El Número Pi por otra parte es lógico que aparezca ya que es esencial para el cálculo de la superficie de la esfera (y de su volumen por tanto). El valor del radio de la esfera se puede expresar asimismo en función de la masa y densidad de la esfera.

          Cuando una esfera sólida va cayendo pues con velocidad uniforme a través de un estanque se halla sometida a tres fuerzas. La de su propio peso, la de rozamiento (que describe la Ley de Stokes) y la de sustentación del agua. La suma de las dos últimas ha de ser exactamente igual a la de la primera. Como es muy sencillo calcular el peso y la fuerza de sustentación y ya menos fácil pero también posible la de rozamiento; con unos conocimientos elementales de matemáticas y si sabemos la viscosidad del agua y la densidad de la esfera (o su radio y masa) podemos determinar con facilidad cual es la velocidad limite.

          Este dato se puede emplear para saber por ejemplo el tiempo que en una balsa de agua de profundidad conocida, es necesario para que las partículas en sus pensión en la misma se hayan depositado en el suelo y por tanto el agua esté limpia y  se convierta en agua que no enturbie los ríos y arroyos con sus vertidos. Por ello la Ley de Stokes es muy importante para diseñar balsas de decantación de las que se emplean en explotaciones tales como canteras y similares. Creo que fue en el transcurso de una discusión en torno al diseño de estas balsas cuando el “tipo listo” dijo que no estaba de acuerdo con la Ley de Stokes.

MUNDO COMPLEJO

          En la realidad muchos de los procesos físicos (limpieza por decantación del agua de una balsa por ejemplo) son muy complicados y los cálculos que se hacen por tanto nunca suelen tener en cuenta todos los factores que intervienen. Por ello los cálculos son siempre aproximaciones a la realidad pero aproximaciones que (la experiencia y los estudios pertinentes han de demostrarlo);son en general suficientes. Por otra parte la Ley de Stokes se aplica a partículas esféricas y para determinar hasta que punto ello es susceptible de aplicar a otros casos hay que hacer una serie de ajustes, cálculos y correcciones; pero la Ley de Stokes formulada según se adjunta en este gráfico no creo que se puede ajustar ni afinar mas. Yo me doy cuenta de que en el cálculo de la fuerza de rozamiento, no se tiene para nada en cuenta la rugosidad de la superficie de la esfera; pero ello es debido quizá a que la influencia de esa rugosidad ya va implícita al considerar la viscosidad del fluido y la velocidad límite. Es posible asimismo que la Ley de Stokes sea sólo válida para partículas muy diminutas como son las que realmente enturbian el agua. En cualquier caso desde que se enuncio hasta hoy han pasado ya casi 200 años y nadie ha sido capaz de rebatirla, excepto claro está el “tipo listo” pero sin aportar argumento alguno.

          Por tanto si alguno de los lectores se considera asimismo un tipo listo y se cree capaz de demostrar que la Ley de Stokes es errónea o se cree capaz de enunciar otra mas perfecta que esta, yo le animo a que lo diga y lo demuestre públicamente en los foros adecuados. Así seguramente se haría famoso y su nombre figuraría en los libros de física junto al de Stokes e incluso quien sabe quizá logrando que la comunidad científica se olvidase de George Gabriel Stokes.

                                               Madrid, 15 de abril de 2.017

                                               Rogelio Meléndez Tercero

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