Num: 5801 | Martes 25 de septiembre de 2018
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El concurso de lanzamiento de azada


En la mayoría de las casas de mi pueblo permanecen arrinconadas y semi olvidadas las viejas azadas como la de la imagen. En mis años mozos y antes aún se les sacaba bastante brillo y provecho; pero ahora ya apenas se utilizan. El caso es que hace algunos años en la fiesta del pueblo la comisión de festejos tuvo la idea de organizar un concurso de lanzamiento de azada. Ciertamente la herramienta utilizada no era exactamente la de la figura; pero en este caso este detalle es intrascendente. Acerté yo a pasar por el campo de lanzamiento y al observar lo que ocurría tuve la sensación de que yo sería capaz de lograr una tirada singular y entonces me apunté a la cola de lanzadores.                    Sin embargo cuando me llegó el turno quedé totalmente decepcionado.¡¡Parecía muy fácil conseguir lanzar la azada muy lejos y sin embargo el tiro se quedó extrañamente corto¡¡. No obstante este episodio me servirá de base para elaborar este artículo.

El lanzamiento de una piedra, de una azada o de un balón de fútbol sigue las leyes físico-matemáticas del conocido como tiro parabólico. La trayectoria del objeto lanzado al aire (hacia adelante y hacia arriba) está compuesta por dos movimientos: uno que sigue una trayectoria que podemos considerar horizontal y con velocidad constante y otro que es primero hacia arriba y con movimiento uniformemente decelerado primero y acelerado después , al caer el objeto. Se da además la circunstancia de que una azada y dada su forma al ser lanzada al aire suele girar sobre si y otras circunstancias que complican el estudio físico-matemático del lanzamiento de azada; pero vamos a suponer que es en realidad una pelota como las del tenis.

Cualquier estudiante de física sabe o debe saber que en estos casos el alcance máximo (en horizontal) se logra cuando el objeto se lanza formando con el suelo un ángulo de exactamente 45º. Por lo que recuerdo ninguno de los lanzadores (ni yo tampoco) efectuaba así el lanzamiento de la azada. Se lanzaba siempre con ángulos menores de 45º.Bastante menores. Al menos eso es lo que parecía ,por lo que recuerdo a simple vista. Un lanzamiento efectuado con un ángulo de 45º a simple vista puede parecer (por un efecto óptico); casi un lanzamiento vertical.

¿Por qué el alcance máximo se logra con los 45º citados?. Para responder correctamente a esta cuestión hay que emplear el correspondiente desarrollo matemático; pero como me temo que no será bien entendido por muchos de los lectores lo trataré de explicar de otro modo.

EL ANGULO DE 45º ES EL MEJOR

Si un objeto se lanza hacia arriba totalmente vertical y si despreciamos el rozamiento con el aire, lo que ha de ocurrir es que suba una cierta altura hasta que se detenga para a continuación descender llegando al suelo justamente en el punto de salida y con la misma velocidad. El tiempo empleado en ascender será el mismo que el empleado en descender. Cada segundo que está en el aire su velocidad en vertical disminuye al subir en exactamente 9,8 metros por segundo. Al descender ocurre justo al contrario con lo cual la velocidad (componente vertical) de llegada al suelo es la misma que la de salida pero de sentido contrario.

Si no se lanza verticalmente no subirá tan alto, pero al caer de nuevo al suelo no lo hará justamente en el punto de partida si no un poco más adelante. ¿Cuánto?. Pues el espacio recorrido hacia adelante mientras sube y baja. Si el lanzamiento se hace con ángulos superiores a los 45º la velocidad que arrastra al objeto hacia arriba será siempre mayor que la que lo lleva hacia adelante. Nos encontramos pues con dos efectos contrapuestos. Para que el objeto avance mucho lo que interesa es que esté en el aire cuanto más tiempo mejor y para ello lo que procede es lanzarlo con mucha pendiente; cuanto más alta mejor. Pero claro también interesa que mientras esté en el aire avance en horizontal cuanto más mejor y para ello lo que se precisa es utilizar ángulos de lanzamiento cuanto mas bajos mejor. Dicho de otro modo que las pendientes que por una parte favorecen un lanzamiento largo (mucho alcance horizontal);por el otro hacen el efecto contrario.

En un caso extremo (lanzamiento horizontal) nos encontramos con que la herramienta sale con una gran velocidad horizontalmente, pero a una altura sobre el suelo mínima por lo cual y dado que la gravedad la atrae al suelo el tiempo de vuelo de la azada será muy poco y aunque avance muy deprisa se topará rápidamente con el suelo. Por tanto a partir de este razonamiento es sencillo intuir que el lanzamiento con una pendiente de 45º es el idóneo para conseguir el mayor alcance horizontal.

No obstante esta no deja de ser una respuesta “chapucera”. La respuesta correcta ha de ser necesariamente dada mediante un lenguaje matemático. Creo que no viene al caso exponer aquí el desarrollo matemático; pero si decir algo.

Es relativamente sencillo demostrar que el alcance de un tiro parabólico, es decir el avance en horizontal es igual a multiplicar la velocidad de salida de la azada por el seno y por el coseno del ángulo de salida y dividido por el valor de la gravedad. Podemos considerar que la velocidad de salida es una constante y el valor de la gravedad también y que la variable es el ángulo de salida. En este caso es sencillo ver (de modo gráfico o probando con una calculadora) que puesto que al aumentar el valor del seno disminuye el del coseno en igual medida; el producto del seno por el coseno es máximo a los 45º. Hay otro modo más correcto y riguroso. Si hacemos la derivada considerando variable el valor del ángulo, llegamos a la conclusión de que esta derivada es igual al coseno del doble del ángulo de salida. Para que este valor sea máximo la derivada es decir el coseno del doble del ángulo ha de ser (un máximo se produce cuando la derivada es igual a cero) cero. Pero para que el valor del coseno sea cero el ángulo del que hallamos ha de ser de 90º. Como el ángulo es igual a dos multiplicado el valor del ángulo de salida; el valor de este ha de ser necesariamente y exactamente de 45º. Un mínimo también se produce cuando la derivada es cero; así pues para aclarar si nos hallamos ante un máximo o un mínimo podemos calcular el valor de coseno del doble de ese ángulo cuando este vale 44º. Resulta ser 0,03489 (coseno de 88º).Si es sin embargo de 46º (coseno de 92º) ya es de esta cantidad pero negativa. Luego para un valor de 45º la derivada pasa de ser positiva a negativa lo que indica que a 45º corresponde el lanzamiento máximo. A esta conclusión llegamos asimismo calculando la derivada de la derivada.

LAS APLICACIONES

Todo este razonamiento matemático se puede aplicar a muchos otros casos. Los militares lo utilizan por ejemplo para el disparo de los cañones o los morteros. En el caso de la fiesta de mi pueblo hubo un tipo que no se si porque tenía mucha fuerza o porque sabía matemáticas, hizo un lanzamiento tan espectacular que la azada cayó fuera del campo de lanzamiento y fue a dar justamente en el capó de un automóvil con el consiguiente susto sobre todo para el dueño del vehículo.

Cuando esté por allí y si tengo tiempo y ganas quizá me decida a poner en práctica este asunto del ángulo de 45º.No obstante antes tendré especial cuidado en que no haya cerca ningún automóvil u otro objeto que pueda sufrir los efectos de un golpe de azada. No me gustaría que este hipotético experimento de física terminase con un disgusto.

Madrid 15 de octubre de 2.017

Rogelio Meléndez Tercero

 

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